曲线积分变量替换：如何将$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$转化为$int_0^{rac{pi}{2}}sin^2tdt$？

wufei123 2025-04-06 阅读:9 评论:0

曲线积分变量替换详解：化简定积分本文详细解释如何通过变量替换，将定积分 $\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$ 简化为 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$。许多同学...

$曲线积分变量替换：如何将$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$转化为$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$？$

曲线积分变量替换详解：化简定积分

本文详细解释如何通过变量替换，将定积分 $\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$ 简化为 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$。许多同学在处理这类积分时会遇到困难。

并非采用极坐标变换，而是利用简单的变量替换法即可解决。关键在于选择合适的替换变量。

解题步骤：

我们选择替换变量 $y = \sin(t)$。由于原积分区间为 $0 \le y \le 1$，则对应的 $t$ 的区间为 $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$。在这个区间内，$\sin(t)$ 和 $\cos(t)$ 均为非负数。

替换变量: 将 $y = \sin(t)$ 代入原积分式：$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$
替换积分限: 当 $y = 0$ 时，$t = 0$；当 $y = 1$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$。
计算微分: 对 $y = \sin(t)$ 求导，得到 $dy = \cos(t)dt$
代入积分式: 将 $y = \sin(t)$ 和 $dy = \cos(t)dt$ 代入原积分式：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}} \cos(t) dt$
化简: 由于 $1 - \sin^2t = \cos^2t$，且在 $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ 区间内 $\cos(t) \ge 0$，所以 $\sqrt{1-\sin^2t} = \sqrt{\cos^2t} = \cos(t)$。代入后，积分式变为：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos(t)} \cos(t) dt$
最终结果: 化简后，得到：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$